pamungkas: November 2011

IDENTITAS TRIGONOMETRI
1. Rumus – rumus yang perlu dipahami:

a. Rumus Dasar yang merupakan Kebalikan

b. Rumus Dasar yang merupakan hubungan perbandingan

c. Rumus Dasar yang diturunkan dari teorema phytagoras

Contoh 1

Buktikan identitas berikut:

Sin α . Cos α . Tan α = (1 – Cos α) (1 + Cos α)

Jawab:

Ruas kiri = Sin α . Cos α . Tan α.

= Sin² α

= 1 – Cos² α

= (1 – Cos α) (1 + Cos α) = Ruas Kanan Terbukti!

Sin β . Tan β + Cos β = Sec β

Jawab:

Ruas Kiri = Sin β . Tan β + Cos β

= Sin β .

+ Cos β
=

Sec β = Ruas Kanan Terbukti

2. Persamaan Trigonometri

a. Persamaan Trigonometri Sederhana

Contoh 2
Tentukan himpunan Penyelesaian dari Persamaan
Sin x =

,0^o ≤ x ≤ 360^o

Jawab:
Sin x =

Sin x = Sin 30^o
x = 30^o + k . 360^o
untuk k= 1 ↔ x = 30^o
untuk k = 2 ↔ x = (180^o – 30^o) + k . 360^o

= 150^o

HP:{30^o, 150^o}

b. Persamaan Trigonometri dalam bentuk a cos x + b sin x = c
Cara penyelesaian persamaan tersebut di atas sebagai berikut:

Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:
Cos y – Sin y = 1, jika 0o ≤ y ≤ 360o

Jawab:

Cos y – Sin y = 1 ↔ a = 1; b = - 1 ; c = 1

Sehingga diperoleh k =

Tan α =

= - 1 ↔ α dikuadran IV

jadi Cos y – Sin y = 1
↔

Cos (x – 315^o) = 1
↔ Cos (x – 315^o) =

↔ Cos (x – 315^o) = Cos 45^o
↔ (x – 315^o) = 45o + k . 360^o
↔ x = 360^o + k . 360^o
↔ x = 360^o
Atau (x – 315^o) = - 45^o + 360^o
x = 270^o+ k . 360^o
x = 270^o
HP:{270^o, 360^o}

rumus jumlah dan selisih trigonometri

Baca selengkapnya »

luas segi tiga

Add caption

Segitiga atau segi tiga adalah nama suatu bentuk yang dibuat dari tiga sisi yang berupa garis lurus dan tiga sudut. Matematikawan Euclid yang hidup sekitar tahun 300 SM menemukan bahwa jumlah ketiga sudut di suatu segi tiga adalah 180 derajat. Hal ini memungkinkan kita menghitung besarnya salah satu sudut bila dua sudut lainnya sudah diketahui.

Daftar isi

[sembunyikan]

[sunting] Klasifikasi segitiga

Menurut panjang sisinya:

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Sebagai akibatnya semua sudutnya juga sama besar, yaitu 60^o.
Segitiga sama kaki adalah segitiga yang dua dari tiga sisinya sama panjang. Segitiga ini memiliki dua sudut yang sama besar.
Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya berbeda panjangnya. Besar semua sudutnya juga berbeda.


Segitiga sama sisi	Segitiga sama kaki	Segitiga sembarang

Menurut besar sudut terbesarnya:

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu besar sudutnya sama dengan 90^o. Sisi di depan sudut 90^o disebut hipotenusa atau sisi miring.
Segitiga lancip adalah segitiga yang besar semua sudut < 90^o
Segitiga tumpul adalah segitiga yang besar salah satu sudutnya > 90^o


Segitiga siku-siku	Segitiga tumpul	Segitiga lancip

[sunting] Lingkaran dalam dan luar segitiga

Suatu lingkaran yang berada di dalam segitiga serta menyinggung ketiga sisi segitiga tersebut disebut lingkaran dalam segitiga. Jari-jari lingkaran dalam segitiga bisa dicari dengan rumus:

$r = \frac{L}{s}\,$ dimana r adalah jari-jari lingkaran dalam segitiga, L adalah luas segitiga dan s adalah setengah keliling segitiga.

Suatu lingkaran yang berada di luar segitiga serta keliling lingkaran tersebut menyinggung perpotongan tiga garis segitiga disebut lingkaran luar segitiga. Jari-jari lingkaran luar segitiga dapat dicari dengan rumus:

$R = \frac{a.b.c}{4.L}\,$ dimana R adalah jari-jari lingkaran luar segitiga; a, b dan c adalah tiga sisi segitiga dan L adalah luas segitiga.

[sunting] Mencari luas dan keliling segitiga

$Keliling = sisi1 + sisi2 + sisi3\,$

$Luas = \frac{alas.tinggi}{2}\,$
atau $Luas = \frac{1}{2} alas.tinggi\,$

Teorema Heron

Teorema Heron biasanya digunakan untuk mencari luas dari suatu segitiga sembarang. a, b dan c adalah ketiga sisi segitiga.

$s = \frac{1}{2} keliling = \frac{a+b+c}{2}\,$
$Luas = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\,$

Segitiga sama sisi

Untuk mencari luas dan keliling segitiga sama sisi yang bersisi a dapat digunakan rumus sebagai berikut:

$Luas = \frac{a^2}{4} \sqrt{3}\,$
$Keliling = 3.a\,$

[sunting] Dalil Pythagoras

Segitiga siku-siku

Dalil Pythagoras hanya berlaku pada segitiga siku-siku. Pythagoras menyatakan bahwa: $c^2 = a^2 + b^2\,$
Jika ada tiga buah bilangan a, b dan c yang memenuhi persamaan di atas, maka ketiga bilangan tersebut disebut sebagai Triple Pythagoras. Triple Pythagoras tersebut dapat dibangun menggunakan rumus berikut dengan memasukkan sebuah nilai n dengan n adalah bilangan bulat positif.

aturan sinus dan cosinus

Hukum kosinus, atau disebut juga aturan kosinus, dalam trigonometri adalah aturan yang memberikan hubungan yang berlaku dalam suatu segitiga, yaitu antara panjang sisi-sisi segitiga dan kosinus dari salah satu sudut dalam segitiga tersebut.

Perhatikan gambar segitiga di kanan.

Aturan kosinus menyatakan bahwa

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\,$

dengan $\gamma\,$ adalah sudut yang dibentuk oleh sisi a dan sisi b, dan c adalah sisi yang berhadapan dengan sudut $\gamma\,$ .

Aturan yang sama berlaku pula untuk sisi a dan b:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha\,$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta\,$

Dengan kata lain, bila panjang dua sisi sebuah segitiga dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut diketahui, maka kita dapat menentukan panjang sisi yang satunya. Sebaliknya, jika panjang dari tiga sisi diketahui, kita dapat menentukan besar sudut dalam segitiga tersebut. Dengan mengubah sedikit aturan kosinus tadi, kita peroleh:

$\cos \alpha\ = {b^2 + c^2 - a^2 \over 2bc}$